凸ｎ角形の内角のうち、直角であるものをθ_１，θ_２，……，θ_ｋ（０≦ｋ≦ｎ）、直角でないものをθ_ｋ＋１，θ_ｋ＋２，……，θ_ｎ（一般に０＜θ_ｍ＜π）とおき、最大のｋを求める。

このとき、 ${\theta }_1+{\theta }_2+\dots +{\theta }_n=(n-2)\mathrm{\pi }$ 、 ${\theta }_1+{\theta }_2+\dots +{\theta }_k=\frac{k\mathrm{\pi }}{2}$ であるから、

ｋ＜ｎのとき

${\theta }_{k+1}+{\theta }_{k+2}+\dots +{\theta }_n=(n-2-\frac{k}{2})\mathrm{\pi }$ となる。

ここで、 $0<{\theta }_{k+1}+{\theta }_{k+2}+\dots +{\theta }_n<(n-k)\mathrm{\pi }$ であるから、 $0<(n-2-\frac{k}{2})\mathrm{\pi }<(n-k)\mathrm{\pi }$ ⇔ ${\{}_{k<2n-4}^{k<4}$

ｋ＝ｎのとき

${\theta }_1+{\theta }_2+\dots +{\theta }_n=\frac{n\mathrm{\pi }}{2}$ となるが、これが成り立つのは、 $(n-2)\mathrm{\pi }=\frac{n\mathrm{\pi }}{2}$ ⇔ $n=4$ のときに限られる。

よって、求める最大値つまりｋの最大値は、

• １（ｎ＝３のとき）
• ４（ｎ＝４のとき）
• ３（ｎ≧５のとき）

である。□