${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{\int }_0^1(1-x^n{)}^{\frac{1}{n}}dx=1$

を証明せよ．

0≦x≦1 のとき

0≦x^n-1≦1

0≦xⁿ≦x

∴1-x≦1-xⁿ≦1

よって

${\int }_0^1(1-x{)}^{\frac{1}{n}}dx\le {\int }_0^1(1-x^n{)}^{\frac{1}{n}}dx\le {\int }_0^{1}dx$

ここで

${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{\int }_0^1(1-x{)}^{\frac{1}{n}}dx={\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{\left[-\frac{n}{n+1}(1-x{)}^{\frac{n+1}{n}}\right]}_0^1={\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{n}{n+1}=1$

${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{\int }_0^{1}dx=1$

より，はさみうちの原理を用いれば

${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{\int }_0^1(1-x^n{)}^{\frac{1}{n}}dx=1$

が成り立つ．■

$|y|=(1-|x{|}^n{)}^{\frac{1}{n}}$

⇔$|x{|}^n+|y{|}^n=1$

のグラフは，nを大きくすると正方形に近づく（下図参照．GRAPESファイル）．

nの値	1	2	10
グラフ

したがって，n→∞ のとき

${\int }_0^1(1-x^n{)}^{\frac{1}{n}}dx$

は，４点(0, 0), (0, 1), (1, 1), (0, 1)を頂点とする正方形の面積に近づくから，

${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{\int }_0^1(1-x^n{)}^{\frac{1}{n}}dx=1$

である．■