箱の中に白玉が8個、赤玉が2個入っている。

この箱から玉を2個ランダムに取り出し、2個の中に白玉が含まれているときはその白玉を全て塗料を塗って赤玉にして2個とも箱の中に戻し、2個とも赤玉の時は箱に戻さず外に置くという試行を繰り返す。

全ての玉が箱の外に置かれるまでにかかる試行の回数の期待値を求めよ。

これは暫定解答である．計算量が多いので，Excelを用いて求める．

${\sum }_i{p}_i{\sum }_j{p}_j{x}_{ij}={\sum }_i{\sum }_j{p}_i{p}_j{x}_{ij}$

より，いわば，部分の期待値の期待値はもとの期待値に等しい．

さて，箱に入っている赤玉の数をr，白玉の数をwとしたとき，全て箱の外に置かれるまでの回数の期待値をE(r, w)とおく．

E(0, 0)=0 とおいたとき，0以上でともには0でない（r=w=0ではない）２数r, wについて

$E(r,w)=\frac{w(w-1)}{(w+r)(w+r-1)}E(r+2,w-2)+\frac{2wr}{(w+r)(w+r-1)}E(r+1,w-1)+\frac{r(r-1)}{(w+r)(w+r-1)}E(r-2,w)+1$

が成り立つ（コンビネーションで書くと₀C₂=0等の但し書きが煩雑だから省いた）．但しE(-2, 2)などは必ず係数が0となるから特に定義しない．

この漸化式が解ければよいのだが，私には解けないので，表にして簡易的なアルゴリズムによって，E(0, 0)→E(2, 0)→E(1, 1)→E(0, 2)→E(4, 0)→E(3, 1)→…→E(3, 7)→E(2, 8) と順に求める．

これは計算ミスさえなければ１時間ほどで解けると思うが，Excelファイルを用いて確実に解いた．下表はその概略である．

E(r, w)

r+w＼w	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	0
2	1	2	2
4	2	3	11/3	13/3	14/3
6	3	4	24/5	416/75	229/37	311/46	266/37
8	4	5	41/7	366/55	731/99	427/53	26/3	838/91	29/3
10	5	6	62/9	193/25	17/2	692/75	109/11	601/57	345/31

よって求める期待値は

$E(2,8)=\frac{345}{31}$

である．■